Tilavuus integraalilla
Tilavuuden laskeminen on helppoa, kun kappaleen poikkileikkaus pysyy samanlaisena koko matkan. Jos poikkileikkauksen pinta-ala on $A$ ja kappaleen pituus on $h$, tilavuus on $V = Ah$. Muuttuvan kappaleen kohdalla sama ajatus toimii paikallisesti, vaikka yhtä vakiota $A$ ei enää ole.
Jaetaan väli $[a, b]$ ohuisiin osiin, joiden leveys on $\Delta x$. Kohdassa $x_i$ oleva osa muistuttaa ohutta lieriötä, jonka poikkileikkausala on $A(x_i)$. Sen tilavuus on likimain $A(x_i)\Delta x$. Kun näiden osien tilavuudet lasketaan yhteen ja jakoa tihennetään, summan raja-arvoksi saadaan määrätty integraali.
Tilavuus poikkileikkausaloista: Olkoon $A(x) \ge 0$ kappaleen tarkasteluakselia vastaan kohtisuoran poikkileikkauksen pinta-ala kohdassa $x$. Jos $A$ on jatkuva välillä $[a, b]$, kappaleen tilavuus on \[ V = \int_a^b A(x)\,dx. \] Muuttuja $x$ ilmaisee poikkileikkauksen paikan ja $dx$ äärettömän ohuen tilavuusalkion paksuuden.
Yksiköt auttavat tarkistamaan kaavan. Jos $A(x)$ mitataan neliömetreinä ja $x$ metreinä, tulon $A(x)\,dx$ sekä integraalin yksikkö on kuutiometri. Tilavuus ei voi olla negatiivinen, joten poikkileikkausala määritellään aina ei-negatiiviseksi.
Mitä $A(x)$ kuvaa kaavassa $V = \int_a^b A(x)\,dx$?