Tilavuus integraalilla
Pyörähdyskappale syntyy, kun tasoalue pyörähtää akselin ympäri. Jos funktion $y = f(x)$ kuvaajan ja $x$-akselin välinen alue pyörähtää $x$-akselin ympäri, kohtaan $x$ syntyy ympyrän muotoinen poikkileikkaus. Ympyrän säde on kuvaajan etäisyys pyörähdysakselista.
Etäisyys on aina ei-negatiivinen, joten säde on yleisesti $r(x) = |f(x)|$. Poikkileikkauksen pinta-ala on kuitenkin \[ A(x) = \pi r(x)^2 = \pi |f(x)|^2 = \pi f(x)^2. \] Neliöiminen poistaa funktion arvon mahdollisen miinusmerkin.
Kiekkomenetelmä: Jos jatkuvan funktion $y = f(x)$ kuvaajan ja $x$-akselin välinen alue pyörähtää $x$-akselin ympäri välillä $[a, b]$, syntyvän kappaleen tilavuus on \[ V = \pi \int_a^b f(x)^2\,dx. \] Integroimisrajat määräävät kappaleen alku- ja loppukohdan $x$-akselin suunnassa.
Esimerkki: Suoran $y = 2$ ja $x$-akselin välinen alue välillä $0 \le x \le 6$ pyörähtää $x$-akselin ympäri. Laske syntyvän ympyrälieriön tilavuus.
Ratkaisu: Säde on vakio $r = 2$ ja integroimisvälin pituus on $6$. Kiekkomenetelmällä
\[ V = \pi \int_0^6 2^2\,dx = 4\pi \int_0^6 1\,dx = 4\pi\big[x\big]_0^6 = 24\pi. \]Tulos on $24\pi$ tilavuusyksikköä. Se täsmää lieriön kaavaan $V = \pi r^2 h$, sillä $\pi \cdot 2^2 \cdot 6 = 24\pi$.
Yleinen virhe on käyttää ympyrän kehää $2\pi r$ poikkileikkauksen pinta-alana. Tilavuusintegraalissa summataan ohuita kiekkoja, joten tarvitaan nimenomaan ympyrän pinta-ala $\pi r^2$.
Mikä on poikkileikkauksen pinta-ala, kun $y = f(x)$ pyörähtää $x$-akselin ympäri?