Tilavuus integraalilla
Kaikki pyörähdyksessä syntyvät poikkileikkaukset eivät ole täysiä kiekkoja. Jos pyörähdysakselin ja pyörähtävän alueen väliin jää tyhjää tilaa, poikkileikkaus on rengas. Sen pinta-ala saadaan vähentämällä sisemmän ympyrän pinta-ala ulomman ympyrän pinta-alasta.
Rengasmenetelmä: Olkoot $R(t)$ ulkosäde ja $r(t)$ sisäsäde siten, että $R(t) \ge r(t) \ge 0$ välillä $[a, b]$. Poikkileikkauksen pinta-ala on \[ A(t) = \pi R(t)^2 - \pi r(t)^2 = \pi\left(R(t)^2 - r(t)^2\right), \] ja kappaleen tilavuus on \[ V = \pi \int_a^b \left(R(t)^2 - r(t)^2\right) dt. \]
Säteet ovat etäisyyksiä pyörähdysakselista, eivät automaattisesti kuvaajien arvoja. Ulkosäde valitaan aina kauempana akselista olevasta rajasta. Muuttuja $t$ voi olla $x$ tai $y$ sen mukaan, ovatko poikkileikkaukset pystysuoria vai vaakasuoria.
Esimerkki: Paraabelin $y = x^2$ positiivisen haaran ja suoran $y = 3x$ rajaama alue pyörähtää $y$-akselin ympäri. Laske syntyvän kappaleen tilavuus.
Ratkaisu: Vaakasuoria poikkileikkauksia varten kirjoitetaan käyrät muotoon $x = \sqrt{y}$ ja $x = \frac{y}{3}$. Leikkauskohdissa
\[ \sqrt{y} = \frac{y}{3}. \]Koska $y \ge 0$ ja yhtälön molemmat puolet ovat ei-negatiivisia, yhtälön neliöiminen on ekvivalentti muunnos. Saadaan
\[ y = \frac{y^2}{9} \iff y(y-9) = 0, \]joten rajat ovat $y = 0$ ja $y = 9$.
Välillä $0 \le y \le 9$ ulkosäde on $R(y) = \sqrt{y}$ ja sisäsäde $r(y) = \frac{y}{3}$. Siksi
\[ V = \pi \int_0^9 \left[(\sqrt{y})^2 - \left(\frac{y}{3}\right)^2\right] dy = \pi \int_0^9 \left(y - \frac{y^2}{9}\right) dy. \]Integroimalla saadaan
\[ V = \pi \left[\frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{27}\right]_0^9 = \pi\left(\frac{81}{2} - 27\right) = \frac{27\pi}{2}. \]Tilavuus on siis $\frac{27\pi}{2}$ tilavuusyksikköä.
Tilavuuden negatiivinen arvo paljastaa tässä menetelmässä aina virheen. Tavallisin syy on se, että sisäsäde on vähennetty väärässä järjestyksessä tai säteiden sijasta on vähennetty kuvaajia ennen neliöimistä.
Miksi rengasmenetelmän kaavassa esiintyvät säteiden neliöt?