Tilavuus integraalilla
Symmetria voi lyhentää tilavuusintegraalia. Jos kappale on symmetrinen tason $x = 0$ suhteen, sen poikkileikkausala toteuttaa ehdon $A(-x) = A(x)$. Tällöin riittää laskea toisen puoliskon tilavuus ja kertoa tulos luvulla $2$.
Symmetrinen poikkileikkausala: Jos $A$ on parillinen funktio ja $a > 0$, niin \[ \int_{-a}^{a} A(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} A(x)\,dx. \] Koska poikkileikkausala on ei-negatiivinen, parittoman funktion kumoutumissääntö ei tavallisesti liity tilavuuden laskemiseen.
$r$-säteisen origokeskisen ympyrän yhtälö on $x^2 + y^2 = r^2$, missä $r > 0$. Ylemmällä puoliympyrällä \[ y(x) = \sqrt{r^2 - x^2}, \qquad -r \le x \le r. \] Kun puoliympyrän ja $x$-akselin välinen alue pyörähtää $x$-akselin ympäri, syntyy pallo.
Esimerkki: Johda $r$-säteisen pallon tilavuuden kaava.
Ratkaisu: Kohdassa $x$ olevan kiekon säde on $y(x)$, joten sen pinta-ala on
\[ A(x) = \pi y(x)^2 = \pi (r^2 - x^2). \]Tämä funktio on parillinen.
Symmetrian ja kiekkomenetelmän avulla
\[ V = 2\pi \int_0^r (r^2 - x^2)\,dx = 2\pi\left[r^2 x - \frac{x^3}{3}\right]_0^r. \]Sijoittamalla rajat saadaan
\[ V = 2\pi\left(r^3 - \frac{r^3}{3}\right) = 2\pi \cdot \frac{2r^3}{3} = \frac{4}{3}\pi r^3. \]Potenssi $r^3$ sopii tilavuuden yksikköön.
Piirros havainnollistaa poikkileikkausta, mutta siitä ei saa päätellä pituuksia mittaamalla. Johtaminen perustuu ympyrän yhtälöön ja integraaliin, ei kuvan mittakaavaan.