Tilavuus integraalilla

Jos kappaleen poikkileikkauksen muoto annetaan suoraan, tilavuustehtävä alkaa sivun, säteen tai muun mitan muodostamisesta. Mitta saadaan usein pohja-alueen kahden rajan välisenä etäisyytenä. Vasta tämän jälkeen kirjoitetaan poikkileikkauksen pinta-ala.

Seuraavassa kappaleessa pohja-alue on funktion $y = 2\sqrt{x}$ kuvaajan ja $x$-akselin välissä välillä $[0, 2]$. Kohdassa $x$ rajojen välinen pystysuora etäisyys on $2\sqrt{x} - 0 = 2\sqrt{x}$. Tämä etäisyys on poikkileikkausneliön sivun pituus.

Ladataan 3D-mallia…

3D-malli · voit muuttaa arvoja

Vedä hiirellä: käännä · rulla: zoomaa

Oletusarvot vastaavat esimerkkiä $y = 2\sqrt{x}$ välillä $[0, 2]$.

Esimerkki: Kappaleen $x$-akselia vastaan kohtisuorat poikkileikkaukset ovat neliöitä. Kunkin neliön sivu ulottuu $x$-akselista käyrälle $y = 2\sqrt{x}$. Laske kappaleen tilavuus välillä $0 \le x \le 2$.

Ratkaisu: Neliön sivu on $s(x) = 2\sqrt{x}$, joten

\[ A(x) = s(x)^2 = (2\sqrt{x})^2 = 4x. \]

Neliöjuuri on määritelty, koska $x \ge 0$.

Tilavuus on

\[ V = \int_0^2 4x\,dx = 4\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2 = 2(2^2 - 0^2) = 8. \]

Tulos on 8 tilavuusyksikköä.

Ratkaisun työjärjestys: Valitse poikkileikkausten suunta. Muodosta leikkauksen tarvittavat mitat paikan funktiona. Kirjoita pinta-ala $A(x)$ tai $A(y)$. Määritä integroimisrajat. Laske integraali ja tarkista, että tulos on ei-negatiivinen ja että yksikkö on tilavuusyksikkö.

Tilavuusintegraalin vaikein vaihe on yleensä geometrisen pinta-alafunktion muodostaminen, ei itse integrointi. Kiekoissa käytetään ympyrän alaa, renkaissa alojen erotusta ja muissa kappaleissa annetun poikkileikkauskuvion pinta-alakaavaa.

Mikä on poikkileikkausneliön pinta-ala $A(x)$, kun sivun pituus on $2\sqrt{x}$?

Luku on käyty läpi